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　光學元件是很精密的元件，制作成本較高，如果能減少元件的厚度，甚至做成片狀透鏡，則不但可以減少光學元件的尺寸，從而縮小燈具或其他設備的大小，還可以節省材料，降低成本。由于厚度減少，光吸收也減少，燈具或儀器效率也會隨之提高，因此做成高質量的薄片形的光學零件一直是光學設計追求的目標之一。

　菲涅爾（Fresnel）透鏡是一種片狀的薄形透鏡，它一直以其輕、薄、價格低廉優勢而在一些方面得到應用。但市場上的菲涅爾透鏡多為等差半徑的同心圓結構，其制作缺乏精確的光學設計過程，導致成像質量不是很高，有的甚至只是簡單的波紋結構，其光學質量就更差了。即使是較好的菲涅爾透鏡，也是通常將普通透鏡分為小段后，近似為折線，并經過不同距離的簡單平移而形成，這些設計方法上的缺陷造成了菲涅爾透鏡的低質量。

　LED體積很小，但市場上銷售的LED用杯狀透鏡大都厚度在10mm以上，這成為LED在某些場合應用的致命問題，雖然可以用菲涅爾透鏡來減薄透鏡的厚度和減少光吸收，但如何進行精確的光學設計卻很少見到文獻報道。

　本文介紹的是能獲得精確的超薄鋸齒形透鏡的設計方法，其光學質量好，光線利用率較高。因為一般的菲涅爾透鏡在理論上就存在浪費，即透過透鏡的光線理論上就有一部分不能到達設計的目的地，本方法得到的透鏡對點光源來說理論上不存在浪費。此外，各個小鋸齒之間的距離也可根據需要而不同，而且在同一透鏡中不同位置的鋸齒間距也可變化，從而使這種方法設計的鋸齒形透鏡有更廣泛的適應性，即它可以適應不同的使用條件和不同的加工條件的需求。

　這種鋸齒形透鏡適用LED為光源的二次光學透鏡。對于LED這種尺寸很小的光源，具有小而薄的光學透鏡是非常有意義的。

　一、設計原理

　單個透鏡一般是一個表面形狀為曲面的透明材料，其作用是改變光線的方向，形成所需的光強空間分布。其缺點是往往比較厚，因此體積大成本高，而且吸收也就大，特別是曲率大的透鏡更是如此。為簡單計，舉一個平凸透鏡的例子，原始的平凹透鏡見圖1（a），相應地傳統的菲涅爾透鏡見圖1（b），為了說明原理，圖中齒距畫得比較大。

　圖1 傳統菲涅爾透鏡的形成原理

　菲涅爾透鏡的設計原理其實是用若干小面來代替整個連續的大曲面。圖1（c）為傳統菲涅爾透鏡設計原理。圖1（b）的鋸齒狀菲涅爾透鏡的功能和圖1（a）的原始透鏡相同。傳統的設計方法可以用圖1（c）表示。實際上圖1（b）的菲涅爾透鏡可以看成是由圖1（a）的透鏡刪除多個矩形部分，再把剩余部分往下移動成一個片狀而成為菲涅爾透鏡的。見圖1（c），其中臺階狀陰影就是被刪除的多個矩形組成的部分。

　顯然圖1（b）這一菲涅爾透鏡比透鏡（a）要薄，從而吸收小，節省材料。但這種按傳統方法設計的透鏡只對平行光是正確的，這時（c）中陰影部分對光線是沒有影響的。但是若是非平行光，如LED為光源時，（c）中的陰影部分對光線就有影響了。若把它刪除制成菲涅爾透鏡，就會造成很大的雜散光。此外，若透鏡的截面用折線代替小弧線，也會帶來光學上的誤差。

　為了克服上述缺點，我們提出用兩種新的方法來設計菲涅爾透鏡。這里我們針對單個LED來設計，對其他光源，設計原理是相同的，因此原則上也可以推廣到其他光源。

　新方法的基本思想是讓被刪除的無效部分的邊緣沿著光線劃分，而且有效的剩余部分移動時是沿著光線的，同時還按一定比例變化其尺寸，這樣光線在透鏡中傳播時不會打到這些邊緣無效部分去，而且還將按原方向折射。這樣就使得散射光減少，透鏡的光學效率也就提高了。

　二、設計方法

　1、分角度法

圖2 分角度法

　我們假定原始透鏡的入射面為平面，出射面（圖2中AB所在的面）為曲面。至于如何設計原始曲面，則不在本文的涉及范圍之內。而新的出射面為我們要設計的鋸齒形。

　在本文中，我們可以假定O點為光源經過入射面后的虛擬像點的位置，也就是光線由O點出發經出射面后到達像面（透鏡的作用可以不是“成像”而是照明）。這樣我們就把入射面的作用包括在內了。我們可以將AB所在的曲面按對O點所張的角度劃分成若干小段。圖中AB就是其中的一個小段。我們不是按照第一節中那樣將這些小段垂直移動下來，而是將其沿光線方向移動，而且移動的同時按線性比例縮放。這樣AB就縮放到了A'B'.按照線性光學原理，小面A'B‘所造成的光線折射的方向與小面AB的是完全相同的，只是光線的位置有微小的區別。由于透鏡尺寸比像距小得多，而OA與OA’之間的距離差比像距更是個二級小量，因此我們完全可以只關心出射光線的角度設計前后不變而不關心光線位置的微小變化，也就是說變化前后的小面將不對整個透鏡的光學效果帶來明顯的差別，特別對照明用的透鏡更是如此。

　此外，角度的劃分可以是均等的，也可以是不等的，這兩種情況都不影響光學效果。為了說明問題，圖2只將透鏡分成了8份，實際上分割的數目越大透鏡就可以越薄。不過，如下文所說，數目多了會帶來新的問題。

　但是可以看到，上述方法一個缺點是透鏡的鋸齒厚度會不同，這可能會影響透鏡的強度。下面提出另一種方法，可以做到鋸齒厚度相等，雖然設計過程復雜一些，但它不但可以克服厚度不等的問題，而且消除雜散光。

　2、分厚度法

圖3 分厚度法

　圖3與圖2的原始透鏡是相同的，但圖3中把原始透鏡在厚度方向按相等距離劃分成若干份（見圖3的水平虛線），再用上小節分角度法中相同的方法把每一小段在沿光線移動的同時線性縮小，形成厚度基本相同的透鏡。

　這一方法不但可以得到相同的鋸齒深度，從而增加透鏡的強度，而且與分角度法相比可以在相同齒數時減少厚度，或在相同厚度時減少鋸齒數。由下面的分析可以知道這一結果還可以使得透鏡的雜散光減少，從而提高成像質量和光利用效率。

　還應該指出，一般情況入射和出射兩個面中只要有一個面做成鋸齒面就可以滿足設計要求。如果希望入射面做成鋸齒面而出射面做成平面，上述析也是一樣的。例如可以使外表面是平滑面而內表面是鋸齒面，這就可以避免灰塵積累。更重要的是如果鋸齒的那一面不是平面而是曲面，其結果是相同的。這樣我們就不僅可以做成平片狀的菲涅爾透鏡，也可以做成其他諸如弧形瓦片狀或碗形的菲涅爾透鏡了。

　三、雜散光分析

　由下面的分析可知，新方法設計的鋸齒透鏡不但保留了原有方法的大大減少厚度的優點，而且可以減少由于加工誤差引起的雜散光。

　由于在實際加工中，鋸齒的尖端和底部不可能做到無限小，而是有一定圓角，這個圓角將會影響光線不能到達應該到達的地方，造成雜散光。圖4是單個鋸齒雜散光的模擬結果。

圖4 單個鋸齒雜散光的模擬結果

　而雜散光的多少與加工的精度有關。假定鋸齒的平均寬度為d,鋸齒尖端的圓角半徑為r,并粗略認為在r范圍內的光變成了雜散光，光損失的比例為r/d.例如鋸齒寬為1mm,加工精度造成有的r為0.05mm,則光損失為5%.這是菲涅爾透鏡不得不有的光損失，這也是菲涅爾透鏡的缺點。

　但相對于其他方法設計的菲涅爾透鏡而言，新方法等厚度法可以相對減少這種損失。其原因是等厚度法與其他方法相比時，在同樣厚度的條件下可以有較少的鋸齒數目，從而使得平均寬度d更大，r/d相對更小，因此光損失更少。

　進一步分析知道，由于LED光源是在光軸部分的發光強度大，邊緣部分小，而分厚度法得到的鋸齒恰恰是在中間部分比在邊緣部分有更大的齒距（見圖3），因此在光強度大的地方損失會少，即總體上可以有更少的光損失。

　圖5 兩個菲涅爾透鏡的實例

　將設計好的截面旋轉或拉伸，就可以得到三維的透鏡。圖5為兩個菲涅爾透鏡的實例。拉伸得到的（a）可用于條形光斑，旋轉得到的（b）可用于圓形光斑。

　本設計方法用將理想的光學表面分割、沿光線方向移動同時縮放的方法，在保持透鏡的理想光學性能的同時使得光學損失減少到最少，相對其他方法而言，可以得到更高的效率。本方法對光源尺度很小的LED光源可以得到很好的效果。